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【適性試験】SPI試験対策-確率の問題

こんにちは。SPIを攻略するうえでは、確率は難科目の一つかもしれません。高校数学ができなかった、もうやりたくないから文系の大学に行って、 3年ぶりに憎むべき数学と対峙することになるのは、皮肉の限りです。理系と文系でものすごく差が付きます。 SPI対策をするために、高校の教科書を開かないといけない！しかし、教科書は捨てたかも？それでも安心をお願いしたい。

なお、組み合わせと順列はもともと知っている必要があるので、 詳しくはSPI対策 順列と組み合わせをご覧ください。

SPI-確率　確率の復習

注意：順列と組み合わせを先に学習する必要があります。まだ未学習の場合はこちらをクリックしてください。

確率の定義は次のようになっています。

Ａが起こる確率をP(A)、起こりうるすべての場合の数をn(Ω)、Aが起こる場合の数をn(A)とすると、 起こりうるすべての場合のパターンを書き並べたとき、どのパターンが起こるとしても同様に確かな時、確率は以下で定義される。

難しいです。SPI-確率を攻略するのはつらそうな気がします。けれども数学の教科書みたいに小難しい説明はしたくないので、簡潔に行きます。 数学科の人は、確率論の教科書の定義と一致することを説明するので、飛ばしてください。ちょっと解説します。

確率の定義の説明

たとえば、コインを2回投げて1回表になる場合を考える。Aを、「コインが1回だけ表」とします。 このとき、全体の数を書き並べてみると、以下の4つのパターンになります。
{1回目：表、2回目：表}
{1回目：裏、2回目：表}●
{1回目：表、2回目：裏}●
{1回目：裏、2回目：裏}

この4パターンは、どのパターンが起こるとしても同じ確からしさを持つので、「同様に確か」です。
求める問題は、コインを2回投げて1回表になる場合なので、確率は、2/4＝1/2です。

間違った例としては以下があげられます。
{2回表}
{1回表、1回裏}
{0回表、2回裏}

このパターンは同様に確かとは言えません。1回表というのは、前述のように、1回目が表なのか2回目が表なのかを区別していません。 このパターンではすべてを書き並べたとは言えません。

確率の定義の注意

たとえば、確率が0の場合は決して起きない事象、0.5の場合は50％で起こる事象、1の場合は確実に起こる事象とする。 同様に確からしいというのは、簡単に言えば起こる確率が同じという意味です。

SPI-確率　例題：組み合わせの確率の例題

1から5をランダムに2回取り出す。このとき、３が出てくる確率を求めよ。

例題の解答

全体の組み合わせは、₅C₂＝10通りの組み合わせ。それらは同様に確か。
そして、３が出てくる組み合わせは、4通り。 よって、確率は2/5である。

SPI-確率　例題：順列の確率

１から５をランダムに2回取り出す。このとき、1番目に３が出てくる確率を求めよ。

例題の解答

全体の順列数は、₅P₂＝20通り。それらは同様に確か。
そして、1番目に3が出てくる組み合わせは、4通り。 よって、確率は1/5である。

反復試行の確率

反復試行の場合、次の公式を用いることが必要です。

導出は後述の内容を応用すればできますが、ここでは憶えてください。

SPI-確率　例題：反復試行の確率

サイコロを振って、１～３が3回目まで出て、4回目に1が出る確率を求めよ。

SPI-確率　確率の積の法則

事象Aが起こる確率をp(A)、事象Aが起こった場合の条件付きでの（重要！）事象Bが起こる場合の確率をp(B|A)とすると、
Aが起こり、その後Bが起こる確率＝p(A)×p(B|A)
となります（直感的に理解してくればいいです。用語はこのコンテンツ作るまで知らなかったです）

SPI-確率　例題：確率の積の法則

くじ引きで当たりが５つ、はずれが１０つとする。このくじを最初に引くときと次に引くときは、どちらが当たりやすいか。

例題の解答

最初に当たりを引く確率は5/15＝1/3
次の人が当たりを引く確率だが、前の人があたりを引くか引かないかで場合分けをする。

前の人が当たりを引いた場合のケース：
前の人が当たりを引いたと仮定します。残っている当たりくじは4個で、くじの数は14個です。
よって、前の人が当たりを引いた場合、次の人が当たりを引く確率は、4/14です。
前の人が当たりを引いて、なおかつ次の人が当たりを引く確率は、
5/15×4/14＝(5×4)/(15×14)

前の人が外れを引いた場合のケース：
前の人が外れを引いたと仮定します。残っている当たりくじ54個で、くじの数は14個です。
よって、前の人が外れを引いた場合の条件付きで、次の人が当たりを引く確率は、5/14です。
前の人が当たりを引いて、なおかつ次の人が当たりを引く確率は、
4/15×5/14＝(4×5)/(15×14)

よって、それらの和が求める確率であり、計算すると1/3となります。残念ながら、くじ引きでは残り物に福があるわけではありません。

重複したものを取り出す場合、確率を掛け算する考え方を良く使います。 よく「くじ引きの順番を決めるためのくじ引き」を提案する人がいますが無意味です。時間の浪費です。

SPI-確率　余事象の確率

Aが起こる確率をP(A)とするとき、Aが起こらない確率は、

で定義されます。

それでは、基本を押さえたところで、演習問題にチャレンジしてみてください。

更新履歴

2016.08.18　公開