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SPI 順列と組み合わせの計算

SPI 順列と組み合わせの問題の解き方説明

SPIの順列・組み合わせの問題は、他のSPIの問題と異なり、もう高校レベルの知識が必要になります。 このページを見る人の半数以上は、大学受験に数学を使ったきりでそれから3年以上数学に触れていない可能性も 考えられます。そのため、SPIのためにも高校数学を一部は復習しなければいけません。

このページではSPIの順列・組み合わせの問題についての必要最低限のことだけ学習します。詳しいことは高校の教科書に譲るとして、必要なことだけ ここで学んでください。SPIは満点を取る必要性はゼロに近いので、ある程度取れればいいつもりで学習しましょう。

高校レベルの基礎事項が必要なので、ここでまとめておきます。 公式の例題も、ここでやっておくこととします。

順列と組み合わせの定義

順列とは、順序を持った並べ方。例えば、{1,2}と{2,1}は別のもの。 組み合わせは、順序を持たない並べ方。例えば、{1,2}と{2,1}は同じもの。

例題(順列・組み合わせの基本)

１から３までの数が書かれたカードを2回引きます。そして、1回目と2回目に何を引いたか記録したい。 (1)引いたカードを戻さず、2回引く場合の順列の数を求めよ。 (2)引いたカードを戻して、2回引く場合の順列の数を求めよ。 (3)引いたカードを戻して、2回引く場合、１が出る組み合わせの数を求めよ。 (4)引いたカードを戻して、2回引く場合、最初に１または２が出る順列の数を求めよ。

考え方

普通に書きだすのも良いが、パターン数に漏れがあっては良くないので、別の方法を検討したい。 1回目と2回目の引くパターン数を考え、それを掛け算…。

解答

（１）3枚とも別々のカードであることに注意する。 カードを最初に引くときの、カードのパターンは3通り。次に、カードを戻さないので、2枚しか残っていない。 それのどちらかを引くと言うことだから、最初に引くカードが何であろうと2通りで固定されている。 よって、3×2＝6通り。 （２）カードを戻さないから、2枚目を引くときのパターンも3通り。 よって、3×3＝9通り。 （３）1が出る組は{1,1},{1,2},{1,3}(組み合わせでは{3,1}と{1,3}は同じもの！順列とは違う)。 よって、3通り。 （４）最初に１が、次に１，２，３のいずれかが出る順列の数は３つ。最初に2についても３つ。 最初に1が出ることと最初に2が出ることは同時に起こらないので、それらの和が答えとなる。 よって、6通り。

階乗の定義

これをnの階乗と言います。たとえば、3の階乗は6となります。 階乗はびっくりマークを使うと言うことには注意をお願いします。

順列の公式

n個の異なるものからm個を抜き出して順番に並べたときのパターン数の公式は、以下のようになります。

順番に並べたということが重要です。異なるものというものなので注意してください。 同じものが含まれている場合は「重複順列」で扱うこととします。

利用例

問：チョコレート、パフェ、スイーツの店にすべて行きたい。 行く順番の組み合わせの数を求めよ。

答え：6通り。nPm(n=3,m=3を利用すればよい。)なお、nPn(n=3)は3の階乗と等しい。

組み合わせの公式

n個の異なるものからm個を抜き出した場合の組み合わせ数の公式は、以下のようになります。

利用例

問：7チームで総当たりで球技大会をした場合、試合数は何試合か。

答：この問題は、7つのチームから、２つのチームを抜き出す組み合わせを求めるものですから、 この問題は、₇C₂を計算すればよい。

よって、答えは21回。蛇足だが、自分のチームが試合する回数は7回のため、 試合をしている時間は3分の1。

同じものを含む場合の順列の公式

今から紹介する公式は、順列を作る要素の中に同じものが含まれている場合に使います。 n個の要素の中に、m_1がn1個、m_2がn2個、・・・、m_mがn_m個存在している場合、 それらを並べた順列の数は以下のようになります。

利用例

黒の玉を２つ、白の玉を２つ順番に並べた場合の順列の数を求めよ。

※黒の玉は２つとも同じ形状として考えること。

答えは、4!/(2!2!)=6通り。

黒の玉は同じものだから、上の公式を利用しました。

男の子3人、女の子2人を並べるというパターンの場合、重複順列は使えません。 男の子がクローン人間でもなければありえないし、クローンは前提ではありません。

他にも、炎属性のモンスター（イフリート、サラマンダー）やアイドルなど、集合として考えられるものには注意してください。

重複順列

くじを引いて戻さないなど、初期状態から物品を取り出して、それを戻すことを繰り返した場合。
異なるn個のものを引いて戻す操作をm回行った場合の順列(重複順列)の数は、
n^m通り

利用例

当たりと外れが1本ずつ入っているくじがある。それを10回引くとき、少なくとも1回は当たりが出る パターン数を求めよ。

答：全体のパターンは、2の10乗＝1024通り。そのうち、すべて外れのパターンは1通り。 すべて外れではない、つまり少なくともあたりが１つあるパターンは、余事象を使って計算すると、 1024-1=1023通り。

更新履歴

2016.08.16　公開